Question

已知f（x）的定義域為（0，+∞），滿足f（x）＞0，f′（x）為其導函數(shù)，

f′(x)

f(x)

＜-1．
（Ⅰ）討論函數(shù)F（x）=e^xf（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設0＜x＜1，比較函數(shù)xf（x）與

1

x

f（

1

x

）的大�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,不等式比較大小

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導，利用導數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由題意得即證當0＜x＜1時，有xf（x）＞

1

x

f（

1

x

），由（Ⅰ）可得e^xf（x）＞e

1

x

f（

1

x

），即f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

），證明e

1

x

-x＞

1

x2

 即證

1

x

-x+2lnx＞0，構(gòu)造函數(shù)設函數(shù)g（x）=

1

x

-x+2lnx，利用導數(shù)可得g（x）＞g（1）=0，即有f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

）＞

1

x2

f（

1

x

），即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）因為F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]．
由

f′(x)

f(x)

＜-1知f（x）+f′（x）＜0，
所以F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]＜0，所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）當0＜x＜1時，有xf（x）＞

1

x

f（

1

x

），
證明如下：
當0＜x＜1時，x＜

1

x

，故由（Ⅰ）可得e^xf（x）＞e

1

x

f（

1

x

），即f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

），
下面證明e

1

x

-x＞

1

x2

 即證

1

x

-x+2lnx＞0，
設函數(shù)g（x）=

1

x

-x+2lnx，
當0＜x＜1時，有g(shù)′（x）=-

1

x2

-1+

2

x

=-

(x-1)2

x2

＜0，
所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
故g（x）＞g（1）=0，所以e

1

x

-x＞

1

x2

，于是f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

）＞

1

x2

f（

1

x

），
即xf（x）＞

1

x

f（

1

x

）．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，比較大小等知識，考查學生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于中檔題．