Question

定義在上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意都有：；②當(dāng)時(shí)，，回答下列問(wèn)題．

（1）證明：函數(shù)在上的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．

（3）證明：，.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）利用條件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）利用單調(diào)性定義進(jìn)行判斷，結(jié)合第（1）小題的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)和①②兩個(gè)條件對(duì)結(jié)果的符號(hào)進(jìn)行判斷；（3）結(jié)合條件①把左邊式子的第項(xiàng)化為，由此左邊可以化為，再利用第（2）小題的結(jié)論得出，原不等式得證.

試題解析：（1）令，

令，則.

所以，在上是奇函數(shù)． 4分

（2）設(shè)，則

， 6分

而，， 7分

即當(dāng)時(shí)，．

∴在上單調(diào)遞減． 8分

（3）

，

，

.

. 13分

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，轉(zhuǎn)化與化歸思想.