Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-2（a+1）（a∈R）．
（1）求證：函數(shù)f（x）的圖象與x軸恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，并求此兩交點(diǎn)之間距離的最小值；
（2）若f（x）+3≥0在區(qū)間（-1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用△=4（a+1）²+4＞0恒成立，可證得：函數(shù)f（x）的圖象與x軸恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），利用韋達(dá)定理知x₁+x₂=2a，x₁x₂=-2（a+1），可求得|AB|²≥4，從而可得此兩交點(diǎn)之間距離的最小值；
（2）依題意，可分離參數(shù)a，得到2a≤（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min，利用基本不等式可求得（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min=2$\sqrt{2}$-2，于是可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵f（x）=x²-2ax-2（a+1）（a∈R），
∴△=4a²-4×（-2）（a+1）=4（a+1）²+4＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）的圖象與x軸恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁+x₂=2a，x₁x₂=-2（a+1），
則|AB|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4（a+1）²+4≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí)取等號(hào)），
∴|AB|_min=2．
（2）解：若f（x）+3≥0在區(qū)間（-1，+∞）上恒成立，
則x²-2ax-2（a+1）+3=x²-2ax-2a+1≥0（x＞-1）恒成立，
分離參數(shù)a得：2a（x+1）≤x²+1（x＞-1）恒成立，
∵x＞-1，∴x+1＞0，∴2a≤（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min，
∵$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=x+1+$\frac{2}{x+1}$-2≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{2}{x+1}}$-2=2$\sqrt{2}$-2，
∴（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min=2$\sqrt{2}$-2，
∴a≤$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分離參數(shù)a，利用基本不等式求得（$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$）_min=2$\sqrt{2}$-2是關(guān)鍵，屬于難題．