Question

9．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）、f₁（x）和f₂（x），滿足f（x）=f₁（x）+f₂（x），且對任意實數(shù)x₁、x₂（x₁≠x₂），恒有|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|成立．
（1）試寫 出一組滿足條件的具體的f₁（x）和f₂（x），使f₁（x）為增函數(shù)，f₂（x）為減函數(shù)，但f（x）為增函數(shù)．
（2）判斷下列兩個命題的真假，并說明理由．
命題1）：若f₁（x）為增函數(shù)，則f（x）為增函數(shù)；
命題2）：若f₂（x）為增函數(shù)，則f（x）為增函數(shù)．
（3）已知f（x）=x³+x²+x+1，寫出一組滿足條件的具體的f₁（x）和f₂（x），且f₂（x）為非常值函數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，找出滿足條件的一組函數(shù)f₁（x）和f₂（x）即可；
（2）根據(jù)題意，得出命題1）是真命題，說明理由即可；
命題2）是假命題，舉反例說明即可；
（3）根據(jù)題意，由f（x）=x³+x²+x+1寫出一組滿足條件的具體f₁（x）和f₂（x），簡單說明理由即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f₁（x）=3^x為（0，+∞）上的增函數(shù)，f₂（x）=-2^x為（0，+∞）減函數(shù)，
則f（x）=3^x-2^x是（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）命題1）：若f₁（x）為增函數(shù)，則f（x）為增函數(shù)，是真命題；
理由是：設(shè)x₁＜x₂由y=f₁（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)可得f₁（x₁）＜f₁（x₂）
①若f₂（x）為單調(diào)遞增或常函數(shù)，則y=F（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)
②若函數(shù)f₂（x₁）＞f₂（x₂），則由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，
-f₁（x₁）+f₁（x₂）＞f₂（x₁）-f₂（x₂）
∴f₁（x₁）+f₂（x₁）＜f₁（x₂）+f₂（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂）；
綜上，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
命題2）：若f₂（x）為增函數(shù)，則f（x）為增函數(shù)，是假命題；
如函數(shù)f₁（x）=-3^x為減函數(shù)，f₂（x）=2^x為增函數(shù)，
但f（x）=2^x-3^x不是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由f（x）=x³+x²+x+1，
令f₁（x）=x³，為定義域R上的增函數(shù)，
f₂（x）=x²+x+1，且f₂（x）為非常值函數(shù)，
則f′（x）=3x²+2x+1=3${（x+\frac{1}{3}）}^{2}$+$\frac{2}{3}$＞0，
所以f（x）是定義域R上的增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性與應(yīng)用問題，是難題．