【題目】如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；

【解析】

試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過計算設，則.∴，∴.后者通過線面垂直與線線垂直的轉化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過作、證、算，本題可過作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數(shù)量積求出兩法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關系得出結論.

試題解析：（1）連結，∵是等腰直角三角形斜邊的中點，∴.

又三棱柱為直三棱柱，

∴面面，

∴面，. 2分

設，則.

∴，∴. 4分

又，∴平面. 6分

（2）以為坐標原點，分別為軸建立直角坐標系如圖，設，

則，

，. 8分

由（1）知，平面，

∴可取平面的法向量.

設平面的法向量為，

由

∴可取. 10分

設銳二面角的大小為，

則.

∴所求銳二面角的余弦值為. 12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（坐標系與參數(shù)方程選做題）
已知曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），C在點（1，1）處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對某種書籍每冊的成本費（元）與印刷冊數(shù)（千冊）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

4.83

4.22

0.3775

60.17

0.60

-39.38

4.8

表中，.

為了預測印刷20千冊時每冊的成本費，建立了兩個回歸模型：，.

（1）根據(jù)散點圖，你認為選擇哪個模型預測更可靠？（只選出模型即可）

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中選擇的模型，求關于的回歸方程，并預測印刷20千冊時每冊的成本費.

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在某學院大一年級名學生中進行了抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學生中南方學生共人。南方學生中有人不喜歡甜品.

（1）完成下列列聯(lián)表：

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計

南方學生

北方學生

合計

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；

（3）已知在被調(diào)查的南方學生中有名數(shù)學系的學生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學生，其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個系的學生中，各隨機抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

附：.

0.15

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點C的坐標為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1 ， A2 ， …，A9和B1 ， B2 ， …，B9 ， 連接OBi ， 過Ai作x軸的垂線與OBi ， 交于點 ．

（1）求證：點 都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
（2）過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為 ，直線l的極坐標方程為 ，且點A在直線l上．
（1）求a的值及直線l的直角坐標方程；
（2）圓C的參數(shù)方程為 ，試判斷直線l與圓C的位置關系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校課題組為了研究學生的數(shù)學成績和物理成績之間的關系，隨機抽取高二年級20名學生某次考試成績（百分制）如下表所示：

序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

數(shù)學成績

95

75

80

94

92

65

67

84

98

71

67

93

64

78

77

90

57

83

72

83

物理成績

90

63

72

87

91

71

58

82

93

81

77

82

48

85

69

91

61

84

78

86

若數(shù)學成績90分（含90分）以上為優(yōu)秀，物理成績85（含85分）以上為優(yōu)秀，則有多少把握認為學生的數(shù)學成績與物理成績有關系（ ）

A. 95% B. 97.5% C. 99.5% D. 99.9%

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知A，B，C是橢圓W： 上的三個點，O是坐標原點．
（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的概率為（用數(shù)字作答）．

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