Question

（1）已知函數(shù)y=

2x-4

（x≥2），求它的反函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）=-x²+1在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）從條件中函數(shù)式 y=

2x-4

(x≥2)中反解出x，再將x，y互換即得函數(shù)y=

2x-4

（x≥2）的反函數(shù)．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．任取1＜x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．注意化簡(jiǎn)f（x₂）-f（x₁）是一定要化到最簡(jiǎn)．

解答：解：（1）∵y=

2x-4

(x≥2)，
∴y²=2x-4，（y≥0），
∴x=

y2+4

2

，
∴函數(shù) y=

2x-4

(x≥2)的反函數(shù)是y=

x2+4

2

（x≥0），
（2）任取0≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=1-x₂²-1+x₁²
=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）=1-x²在[0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、反函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，解答（1）題的關(guān)鍵是熟悉求反函數(shù)的一般步驟，注意反函數(shù)的定義域和值域的求解，本題比較基礎(chǔ)．