【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若,求證:函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應的值.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)代入,求導,通過導數(shù)恒為正值進行證明;(Ⅱ)求導,通過討論參數(shù)的取值,研究函數(shù)的極值點與所給區(qū)間的關(guān)系,進而研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性和極值、最值進行求解.
試題解析:(Ⅰ)當a=﹣2時,f(x)=x2﹣2lnx,當x∈(1,+∞),,故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
(Ⅱ),當x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非負(僅當a=﹣2,x=1時,f'(x)=0),
故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時[f(x)]min=f(1)=1.
若﹣2e2<a<﹣2,當時,f'(x)=0;當時,f'(x)<0,
此時f(x)是減函數(shù);當時,f'(x)>0,此時f(x)是增函數(shù).
故[f(x)]min==
若a≤﹣2e2,f'(x)在[1,e]上非正(僅當a=﹣2e2,x=e時,f'(x)=0),
故函數(shù)f(x)在[1,e]上是減函數(shù),此時[f(x)]min=f(e)=a+e2.
綜上可知,當a≥﹣2時,f(x)的最小值為1,相應的x值為1;
當﹣2e2<a<﹣2時,f(x)的最小值為,相應的x值為;
當a≤﹣2e2時,f(x)的最小值為a+e2,相應的x值為e
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:A、B、C三地位于同一水平面上,在C處進行該儀器的垂直彈射,觀測點A、B兩地相距100米,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚
秒. A地測得該儀器彈至最高點H時的仰角為30°.
(1)求A、C兩地的距離;
(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,底面為長方形,且,是的中點,作交于點.
(1)證明:平面;
(2)若三棱錐的體積為,求二面角的正弦值.
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【題目】如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB平面ABC, VAB為等邊三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點。
(I)求證:VB//平面MOC;
(II)求證:平面MOC平面VAB;
(III)求三棱錐V-ABC的體積。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)
已知函數(shù),(其中),其部分圖像如圖所示.
(I)求的解析式;
(II)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應的值。
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【題目】()直線過點(2,3),且當傾斜角是直線的傾斜角的二倍時,求直線方程.
()當與軸正半軸交于點、軸正半軸交于點,且的面積最小時,求直線方程.
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【題目】若直線和是異面直線,在平面內(nèi),在平面內(nèi),是平面與平面的交線,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 至少與,中的一條相交 B. 與,都不相交
C. 與,都相交 D. 至多與,中的一條相交
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