已知橢圓C1
x2
3
+
y2
2
=1
的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2
(Ⅰ)設(shè)直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),取曲線C2上不同于O的點(diǎn)S,以O(shè)S為直徑作圓與C2相交另外一點(diǎn)R,求該圓的面積最小時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo).
分析:(I)利用橢圓的方程即可得出c及直線l1的方程,再利用拋物線的定義即可得出點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(II)由于以O(shè)S為直徑的圓與C2相交于點(diǎn)R,可得∠ORS=90°,設(shè)S(x1,y1),R(x2,y2),則
y
2
1
=4x1
y
2
2
=4x2
,利用
OR
SR
=x2(x2-x1)+y2(y2-y1)=0,和基本不等式可得|y1|min及|x1|min,進(jìn)而得到圓的直徑的最小值|OS|min即可.
解答:解:(I)由橢圓方程
x2
3
+
y2
2
=1
,可得a2=3,b2=2,∴c=
a2-b2
=1.
∴直線l1:x=-1,焦點(diǎn)F2(1,0).
∵點(diǎn)M在線段PF2的垂直平分線上,∴|MP|=|MF2|,
故動(dòng)點(diǎn)M到定直線l1:x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F2(1,0)的距離,
因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C2是以l1為準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線,
所以點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y2=4x
(II)∵以O(shè)S為直徑的圓與C2相交于點(diǎn)R,
∴∠ORS=90°,即
OR
SR
=0

設(shè)S(x1,y1),R(x2,y2),則
y
2
1
=4x1
y
2
2
=4x2
,
SR
=(x2-x1,y2-y1)
,
OR
=(x2,y2)

OR
SR
=x2(x2-x1)+y2(y2-y1)=0,即
y
2
2
(
y
2
2
-
y
2
1
)
16
+y2(y2-y1)=0.
∵y1≠y2,y2≠0,∴y1=-(y2+
16
y2
)

|y1|=|y2|+
16
|y2|
≥8
,當(dāng)且僅當(dāng)y2=±4時(shí)等號成立
當(dāng)|y1|min=8時(shí),(x1)min=
82
4
=16
,圓的直徑|OS|min=
162+82
=8
5

這時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(16,±8).
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓、拋物線及圓的定義及其性質(zhì)、∠ORS=90°?
OR
SR
=0
、基本不等式的性質(zhì)、勾股定理等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率為
3
2
的橢圓C1的頂點(diǎn)A1,A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1
的左右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),設(shè)直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)試判斷k1•k2的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān),并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)當(dāng)k1=
1
2
時(shí),圓C2:x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長為
4
5
5
,求實(shí)數(shù)m的值.
設(shè)計(jì)意圖:考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識,考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力.第(Ⅱ)改編自人教社選修2-1教材P39例3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2
x2
3
-y2=1
.若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1、雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩交點(diǎn)A、B滿足
OA
OB
<6
(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C1x2+y2=1,橢圓C2
x2
3
+
2y2
3
=1
,四邊形PQRS為橢圓C2的內(nèi)接菱形.
(1)若點(diǎn)P(-
6
2
,  
3
2
)
,試探求點(diǎn)S(在第一象限的內(nèi))的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),試探討菱形PQRS與圓C1的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2
x2
3
-y2=1
.若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1、雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩交點(diǎn)A、B滿足
OA
OB
<6
(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.

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