Question

已知函數(shù)，f(x)＝ax3＋x2＋cx＋d是定義在R上的函數(shù)，其圖象與x軸的一個交點為(2，0)，若f(x)在[－1，0]和[4，5]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)． (1) 求C的值 (2) 求d的取值范圍 (3) 在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在一點M(x。，y。)，使得曲線y＝f(x)在點M處的切線的斜率為3?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵f(x)在[－1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù) 　　∴x=0點是f(x)的一個極值點 　　∴(0)=0而(x)=3ax2＋2x十c 　　即x=0是3ax2＋2x＋c=0的一個根 　　∴c=0 　　分析：(1)由f(x)在[－1，0]上遞減，在[0，2]上遞增，可得x=0是f(x)的一個極值點，便可求出c的值．
(2)	解：∵f(x)在[－1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)， 　　∴x=0點是f(x)的一個極值點， 　　∴(0)=0而(x)=3ax2＋2x十c， 　　即x=0是3ax2＋2x＋c=0的一個根． 　　∴c=0． 　　∵函數(shù)f(x)的圖象過點(2，0)，∴f(2)=0． 　　∴8a＋4＋d=0，即d=－8a－4． 　　令(x)=0，得3ax2＋2x=0． 　　∴x1=0，x2=－ 　　∵f(x)在[0，2]上為增函數(shù)，在[4，5]上為減函數(shù)，∴x2∈[2，4]， 　　即≥2， 　　∴－6≤≤－3， 　　即－≤a≤．∴≤－8a≤． 　　∴－≤－8a－4≤－ 　　即－≤d≤－． 　　分析：由f(x)在[0，2]上遞增，在[4，5]上遞減，可得函數(shù)的另一個極值點在[2，4]上，這樣就可建立相應的不等式求出d的取值范圍．
(3)	解：假設存在點M(x0，y0)，使得曲線y=f(x)在點M處的切線的斜率為3，則(x0)=3， 　　即3a十2x0=3． 　　∴3a＋2x0－3=0，△=4＋36a． 　　又－≤a≤，∴－12≤36a≤－6． 　　∴△=4＋36a＜0． 　　∴不存在點M(x0，y0)，使得曲線y=(x)在點M處的切線的斜率為3． 　　分析：求得f(x)在x=x0時的導數(shù)，并使其為3，這樣可以建立關于x0的方程，通過判別式判斷有無實根就可以確定點M是否存在．