Question

6．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式：
（1）$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
（2）$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．

Answer 1

分析 （1）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)BG、OG、MG，利用數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則能化簡(jiǎn)$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$．
（2）取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，連結(jié)AM、EM、FM、MD，利用數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則能化簡(jiǎn)$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．

解答 解：（1）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)BG、OG、MG，
∵空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
=$\overrightarrow{AB}$+（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{BM}$）
=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BG}$
=$\overrightarrow{AG}$．
（2）取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，連結(jié)AM、EM、FM、MD，
則$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$）
=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}$
=$\overrightarrow{MD}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的化簡(jiǎn)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則的合理運(yùn)用．