6.已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{1}{bx}$(a,b∈R)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-2y=0.
(1)求a,b的值;
(2)當(dāng)x>1時,f(x)-kx<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)n∈N*,且n≥2時,$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+$\frac{1}{4ln4}$+…+$\frac{1}{nlnn}$>$\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$.

分析 (1)f′(x)=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$=$\frac{abx-1}{b{x}^{2}}$,f′(1)=a-$\frac{1}$,f(1)=$\frac{1}$.由函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-2y=0.
可得a-$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$,1-2×$\frac{1}$=0,解得a,b.
(2)f(x)=lnx+$\frac{1}{2x}$.當(dāng)x>1時,f(x)-kx<0恒成立,lnx+$\frac{1}{2x}$-kx<0,化為:k$>\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=g(x).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
(3)由(2)可知:x>1時,$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$<$\frac{1}{2}$,化為$\frac{1}{xlnx}>\frac{2}{{x}^{2}-1}$,令x=n≥2,則$\frac{1}{nlnn}$>$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$.利用“累加求和”方法與“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 (1)解:f′(x)=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$=$\frac{abx-1}{b{x}^{2}}$,f′(1)=a-$\frac{1}$,f(1)=$\frac{1}$.
∵函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-2y=0.
∴a-$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$,1-2×$\frac{1}$=0,解得b=2,a=1.
(2)解:f(x)=lnx+$\frac{1}{2x}$.
當(dāng)x>1時,f(x)-kx<0恒成立,
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{2x}$-kx<0,化為:k$>\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=g(x).
g′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{x-xlnx-1}{{x}^{3}}$.
令h(x)=x-xlnx-1,(x>1).
h′(x)=1-lnx-1=-lnx<0,
∴h(x)<h(1)=0,
∴g′(x)<0,∴函數(shù)g(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴k≥g(1)=$\frac{1}{2}$.
(3)證明:由(2)可知:x>1時,$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$<$\frac{1}{2}$,化為$\frac{1}{xlnx}>\frac{2}{{x}^{2}-1}$,
令x=n≥2,則$\frac{1}{nlnn}$>$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$.
∴當(dāng)n∈N*,且n≥2時,$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+$\frac{1}{4ln4}$+…+$\frac{1}{nlnn}$>$(1-\frac{1}{3})$+$(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$+$(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n})$+$(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})$
=$\frac{3}{2}$-($\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$)=$\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$.

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值切線方程、證明不等式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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16.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}-2alnx+(a-2)x,a∈R$
(Ⅰ)當(dāng)a<0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)$a≤-\frac{1}{2}$時,對任意的x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,都有f(x2)-ax2>f(x1)-ax1成立.

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17.拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于A點(diǎn),焦點(diǎn)是F,P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點(diǎn),令m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$,當(dāng)m取得最小值時,PA的斜率是(  )
A.1B.2C.3D.4

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14.近日石家莊獅身人面像拆除,圍繞此事件的種種紛爭,某媒體通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民對此的看法,得到表
認(rèn)為就應(yīng)依法拆除認(rèn)為太可惜了
4510
3015
附:
P(K2≥k)0.100.050.025
k2.7063.8415.024
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
參照附表,得到的正確結(jié)論是(  )
A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”
C.有90%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
D.有90%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”

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1.不等式2x2-axy+3y2≥0對于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.a≤2$\sqrt{2}$B.a≤2$\sqrt{6}$C.a≤5D.a≤$\frac{9}{2}$

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11.已知函數(shù)f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的圖象與x軸有公共點(diǎn),則m的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞)(用區(qū)間表示).

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18.已知橢圓C:$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1,過點(diǎn)D(0,4)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N(M在D,N之間),有以下四個結(jié)論:
①若$\left\{{\begin{array}{l}{{x^'}=x}\\{{y^'}=2y}\end{array}}$,橢圓C變成曲線E,則曲線E的面積為4π;
②若A是橢圓C的右頂點(diǎn),且∠MAN的角平分線是x軸,則直線l的斜率為-2;
③若以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O,則直線l的斜率為±2$\sqrt{5}$;
④若$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$,則λ的取值范圍是1<λ≤$\frac{5}{3}$.
其中正確的序號是①④.

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15.若關(guān)于x的一元二次方程3x2+2ax+1=0沒有實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是( 。
A.(-∞,-$\sqrt{3}$)∪($\sqrt{3}$,+∞)B.(-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)C.[-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$]D.[-3,3]

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19.斜棱柱側(cè)棱長為1,側(cè)面積為2,則直截面(垂直于側(cè)棱且每一條側(cè)棱都相交的截面)的周長為2.

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