Question

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（1）求證：BD⊥平面ADE；
（2）求直線BE和平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2 ．

∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2

又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．

又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面ADE

（2）解：取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥平面ABCD，EF= ．

過D點(diǎn)作直線Oz∥EF，則Oz⊥平面ABCD．

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DB，Dz為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

∴D（0，0，0），C（﹣ ， ，0），B（0，2 ，0），E（ ，0， ），

∴ =（ ，﹣2 ， ）， =（ ，0， ）， =（﹣ ， ，0）．

設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，設(shè)x=1得 =（1，1，﹣1）．

∴cos＜ ＞= = =﹣ ．

∴直線BE和平面CDE所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）由勾股定理得出AD=BD=2 ，故而AD⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)得出BD⊥平面ADE；（2）以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出 和平面CDE的法向量 ，則直線BE和平面CDE所成角的正弦值為|cos＜ ＞|．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．