Question

10．方程sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=m（0＜m＜$\frac{1}{2}$）在區(qū)間x∈[0，2π]上的所有解的和等于$\frac{11π}{3}$．

Answer 1

分析 分別作出y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）與y=m的圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性質(zhì)即可求出所有解的和．

解答 解：∵sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=m，
分別作出y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）與y=m的圖象，
由于y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的對稱軸為2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即為x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，
∵x∈[0，2π]，
∴對稱軸分別為x=$\frac{7π}{12}$，x=$\frac{11π}{12}$，x=$\frac{19π}{12}$，
由圖象可知，y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）與y=m的圖象的交點分別關(guān)于x=$\frac{11π}{12}$對稱，
∴方程sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=m（0＜m＜$\frac{1}{2}$）在區(qū)間x∈[0，2π]上的所有解的和等于4×$\frac{11}{12}$π=$\frac{11π}{3}$，
故答案為：$\frac{11π}{3}$

點評 本題主要考查方程根的存在性及個數(shù)判斷，兩角和差的正弦公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．