Question

設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）?p是?q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用不等式的解法求解出命題p，q中的不等式范圍問題，結(jié)合二者的關系得出關于字母a的不等式，從而求解出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵x²-4ax+3a²=0對應的根為a，3a；由于a=1，
則x²-4ax+3a²＜0的解集為（1，3），
故命題p為真，則x∈（1，3）；

x2-x-6≤0 x2+2x+8＞0

⇒x∈（2，3]，
故命題q為真，有x∈（2，3]．
由復合命題真值表得：p∧q為真，則p、q都為真，
∴實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3；
（2）若^?p是^?q的必要不充分條件，即q是p的充分不必要條件，
∴有（a，3a）?（2，3]，
又a＞0，∴

3a＞3 a≤2

⇒1＜a≤2，
故a的取值范圍是1＜a≤2．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式與二次函數(shù)的關系，考查了學生分析、解決問題的能力，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．