【題目】在梯形ABCD中,DC∥AB,DC⊥CB,E是AB的中點(diǎn),且AB=2BC=2CD=4(如圖所示),將△ADE沿DE翻折,使AB=2(如圖所示),F是線段AD上一點(diǎn),且AF=2DF.
(Ⅰ)求四棱錐A-BCDE的體積;
(Ⅱ)在線段BE上是否存在一點(diǎn)G,使EF∥平面ACG?若存在,請指出點(diǎn)G的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)線段BE上存在一點(diǎn)G,G是BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),使EF∥平面ACG.
【解析】
(Ⅰ)取BE中點(diǎn)O,連結(jié)AO,證明AO⊥平面BCDE,即可計(jì)算四棱錐A-BCDE的體積。
(Ⅱ)過F作FH∥DC,交AC于H,在EB上取EG=FH,連結(jié)GH,證明FHEG,即可證明EF∥,問題得解。
解:(Ⅰ)∵在梯形ABCD中,DC∥AB,DC⊥CB,E是AB的中點(diǎn),AB=2BC=2CD=4(如圖1所示),
將△ADE沿DE翻折,使AB=2(如圖2所示),
,∴平面ABE⊥
∴平面ABE⊥平面BCDE,四邊形BCDE是以2為邊長的正方形,
取BE中點(diǎn)O,連結(jié)AO,則AO⊥BE,
∴AO⊥平面BCDE,且AO==,
∴四棱錐A-BCDE的體積V===.
(Ⅱ)過F作FH∥DC,交AC于H,在EB上取EG=FH,連結(jié)GH,
∵F是線段AD上一點(diǎn),且AF=2DF.
,
∴EG=2GB,即G是BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),
此時,FHEG,∴四邊形GEFH是平行四邊形,∴EF∥GH,
∵EF平面ACG,GH平面ACG,
∴線段BE上存在一點(diǎn)G,G是BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),使EF∥平面ACG.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,證明:曲線沒有經(jīng)過點(diǎn)的切線;
(Ⅱ)若函數(shù)在其定義域上不單調(diào),求的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在正整數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的圖象在軸的上方,若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, ,數(shù)列滿足點(diǎn)在直線上.
(1)求數(shù)列, 的通項(xiàng), ;
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若,求對所有的正整數(shù)都有成立的的范圍.
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【題目】在中,D,E,F分別是邊,,中點(diǎn),下列說法正確的是( )
A.
B.
C.若,則是在的投影向量
D.若點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn),且滿足,則的最大值為
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【題目】治理大氣污染刻不容緩,根據(jù)我國分布的《環(huán)境空氣質(zhì)量數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定》:空氣質(zhì)量指數(shù)劃分階為0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六級,對應(yīng)于空氣質(zhì)量指數(shù)的六個級別,指數(shù)越大,級別越高,說明污染越嚴(yán)重,對人體健康的影響也越明顯.專家建議:當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于時,可以戶外運(yùn)動;空氣質(zhì)量指數(shù)及以上,不適合進(jìn)行旅游等戶外活動,以下是某市年月中旬的空氣質(zhì)量指數(shù)情況:
時間 | 11日 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 | 20日 |
AQI | 149 | 143 | 251 | 254 | 138 | 55 | 69 | 102 | 243 | 269 |
(1)求月中旬市民不適合進(jìn)行戶外活動的概率;
(2)一外地游客在月中旬來該市旅游,想連續(xù)游玩兩天,求適合旅游的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三角形三邊長是三個連續(xù)自然數(shù).
(1)且三角形為鈍角三角形,求三邊長;
(2)且最大角是最小角的倍,求三邊長.
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【題目】某中學(xué)在高二年級開設(shè)大學(xué)先修課程《線性代數(shù)》,共有50名同學(xué)選修,其中男同學(xué)30名,女同學(xué)20名.為了對這門課程的教學(xué)效果進(jìn)行評估,學(xué)校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行考核.
(Ⅰ)求抽取的5人中男、女同學(xué)的人數(shù);
(Ⅱ)考核前,評估小組打算從抽取的5人中隨機(jī)選出2名同學(xué)進(jìn)行訪談,求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率.
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【題目】中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15~65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人,調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;
(2)若以45歲為分界點(diǎn),從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動.現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人.
①抽到1人是45歲以下時,求抽到的另一人是45歲以上的概率.
②記抽到45歲以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
,其中.
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