Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-θ）
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，0）且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|+|PB|=$\sqrt{5}$，求直線l的傾斜角α．

Answer 1

分析 （I）把極坐標(biāo)方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)P（1，0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)|PA|+|PB|=$\sqrt{5}$，求直線l的傾斜角α．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-θ），即ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ）．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)P（1，0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程，可得t²-2tsinα-1=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=2sinα，t₁t₂=-1．
∴|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=$\sqrt{4si{n}^{2}α+4}$=$\sqrt{5}$，∴sinα=$\frac{1}{2}$（舍去負(fù)數(shù)），∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程、參數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題．