Question

已知半圓O的直徑AB=2，C在BA的延長(zhǎng)線上且AC=1，P為半圓上異于A、B的一點(diǎn)，設(shè)∠POC=θ．
（1）設(shè)PB²+PC²=f（θ），求f（θ）的解析式；
（2）以PC為邊作正方形PCMN，求五邊形OCMNP面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）PC²=PO²+CO²-2×PO×CO×cosθ=5-4×cosθ，PB²=PO²+BO²-2×PO×BO×cos（180°-θ）=2+2×cosθ，由此能求出f（θ）．
（2）設(shè)五邊形OCMNP的面積為S，由S=PC2+

1

2

PO×CO×sinθ=5-4cosθ+sinθ，能求出五邊形OCMNP面積的最大值．

解答： 解：（1）∵PC²=PO²+CO²-2×PO×CO×cosθ
=5-4×cosθ，
PB²=PO²+BO²-2×PO×BO×cos（180°-θ）
=2+2×cosθ，
∴f（θ）=7-2cosθ（0°＜θ＜180°）．
（2）設(shè)五邊形OCMNP的面積為S，
S=PC2+

1

2

PO×CO×sinθ
=5-4cosθ+sinθ
=5+

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×sin(θ-α)，（tanα=4，0°≤θ＜180°），
∴Smax=5+

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查五邊形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的合理運(yùn)用．