(本小題滿分12分)
已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC上的動點。
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅱ)當(dāng)點E在何位置時,BD⊥AE?證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)若點E為PC的中點,求二面角D-AE-B的大。
(Ⅰ);(Ⅱ)不論點E在何位置,都有BD⊥AE;(Ⅲ)。
【解析】
試題分析:(Ⅰ)解:由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,
側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC="2."
∴----------------------------2分
(Ⅱ) 不論點E在PC上何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------3分
證明如下:連結(jié)AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------5分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不論點E在何位置,都有AE平面PAC
∴不論點E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分
(Ⅲ) 解法一:在平面DAE內(nèi)過點D作DG⊥AE于G,連結(jié)BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴為二面角D-EA-B的平面角--------------------------10分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中==BG
在△DGB中,由余弦定理得
∴=-----------------------12分
[解法二:以點C為坐標(biāo)原點,CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:
則,從
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為
由可得:,
同理得:。令,則,
∴------10分
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為,則 ∴------12分
考點:錐體的體積公式;線面垂直的判定定理;線面垂直的性質(zhì)定理;二面角。
點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學(xué)都會應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對,出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟(jì)增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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