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設函數y=f（x）對于x＞0有意義，且滿足條件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上為增函數，
①證明：f（1）=0；         
②求f（4）的值；
③如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范圍．
分析：（1）將x=1代入條件，化簡即得f（1）=0；
（2）令x=y=2代入題中條件，算出f（4）=2f（2），結合f（2）=1即可算出f（4）的值；
（3）根據函數對應法則，得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3）），將不等式右邊的2化成f（4），結合函數的定義域與單調性建立關于x的不等式組，解之即可得到實數x的取值范圍．
解答：解：①令x=1代入題中條件，得f（y）=f（1）+f（y） 得f（1）=0；
②令x=y=2代入題中條件，
得f（2×2）=f（2）+f（2），得f（4）=2f（2）
∵f（2）=1，∴f（4）=2f（2）=2
③∵f（x）+f（x-3）≤2，
∴f（x（x-3））≤f（4）
結合f（x）在（0，+∞）上為增函數，可得
x(x-3)≤4
x＞0
x-3＞0

解之得 3＜x≤4，實數x的取值范圍為（3，4]．
點評：本題給出抽象函數，求函數的值并求解關于x的不等式．著重考查了函數單調性、函數值的求法等知識，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數問題具體化，是解決這類問題的關鍵所在．
練習冊系列答案
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設函數y=f（x）對任意正實數x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），已知f（8）=3，則f(
2
)等于（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）對任意的實數x，都有f(x)=
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f(x-1)，且當x∈[0，1]時，f（x）=27x2（1-x）．
（1）若x∈[1，2]時，求y=f（x）的解析式；
（2）對于函數y=f（x）（x∈[0，+∞）），試問：在它的圖象上是否存在點P，使得函數在點P處的切線與 x+y=0平行．若存在，那么這樣的點P有幾個；若不存在，說明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，記 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求證：0≤Sn＜4．

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設函數y=f（x）對一切實數x都有f（3+x）=f（3-x）且方程恰有6個不同的實根，則這6個根之和為
18
18
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=f（x）對任意實數x，都有f（x）=2f（x+1），當x∈[0，1]時，f（x）=
27
4
x2（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N+，當x∈[n，n+1]時，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對于任意的n∈N+，當x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤
1
2n
；
（Ⅲ）對于函數y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點P，使經過點P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點有多少個？并說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南省郴州市汝城一中高三（上）周練數學試卷（4）（理科）（解析版） 題型：解答題

設函數y=f（x）對任意的實數x，都有，且當x∈[0，1]時，f（x）=27x2（1-x）．
（1）若x∈[1，2]時，求y=f（x）的解析式；
（2）對于函數y=f（x）（x∈[0，+∞）），試問：在它的圖象上是否存在點P，使得函數在點P處的切線與 x+y=0平行．若存在，那么這樣的點P有幾個；若不存在，說明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，記 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求證：0≤Sn＜4．

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