Question

9．函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1在R上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，-\sqrt{3}}]∪[{\sqrt{3}，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• C． $[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$
• D． $（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范圍即可．

解答 解：f（x）=-x³+ax²-x-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，
∴△=4a²-12≤0，解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，以及恒成立問題的解法，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．