精英家教網(wǎng)如圖：正四面體MBCD的棱長為2，AB⊥平面BCD，AB=
6
3
．
（1）求點A到平面MBC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MBC的法向量，利用d=
|
n
•
BA
|
|
n
|
=
2
3
．求出點A到平面MBC的距離；
（2）求出平面ACM的法向量，又平面BCD的法向量
n2
=(0，0，1)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個法向量的夾角余弦，進(jìn)一步求出平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．
解答：解：（1）△BCD為正三角形，取CD的中點E，則BE⊥CD，
又AB⊥平面BCD，，則以B為原點，過B作l∥CD為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
有B（0，0，0），C（1，
3
，0），M（0，
2
3
3
，
6
3
），A（0，0，
6
3
）
設(shè)平面MBC的法向量為
n
=(x，y，z)，
BM
=(0，
2
3
3
，
6
3
），
BC
=(1，
3
，0)
所以
n
•
BM
=
2
3
3
y+
6
3
z=0
n
•
BC
=x+
3
y=0 
解得
n
=(
3
，-1，
2
)
BA
=(0，0，
6
3
)
設(shè)點A到平面MBC的距離為d則d=
|
n
•
BA
|
|
n
|
=
2
3
．
（2）因為
CM
=(-1，-
3
3
，
6
3
)，
CA
=(-1，-
3
，
6
3
)，
設(shè)平面ACM的法向量為
n1
=(x，y，z)
則有
n1
•
CM
=-x-
3
3
y+
6
3
z=0
n1
•
CA
=-x-
3
y+
6
3
z=0 
解得
n1
=(
6
，0，3)
又平面BCD的法向量
n2
=(0，0，1)
所以cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
15
5

設(shè)平面ACM與平面BCD所成二面角的所成的角為θ
所以sinθ=
1-(
15
5
)2
=
10
5
點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．
練習(xí)冊系列答案
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如圖：正四面體MBCD的棱長為2，AB⊥平面BCD，AB＝．

(1)求點A到平面MBC的距離；

(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

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如圖：正四面體MBCD的棱長為2，AB⊥平面BCD，AB=．
（1）求點A到平面MBC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

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