【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前項(xiàng)和為,且滿足,若數(shù)列滿足,且等式對(duì)任意成立.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列與的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列,設(shè)該新數(shù)列為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)的和;
(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列前項(xiàng)和,若對(duì)任意都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2),;(3).
【解析】
(1)由4Sn=(an+1)2,n=1時(shí),4a1,解得a1,n≥2時(shí),4an=4(Sn﹣Sn﹣1),化為:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,根據(jù)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),可得an﹣an﹣1=2,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an.
(2)數(shù)列{bn}滿足b1=2,b2=4,且等式bn2=bn﹣1bn+1對(duì)任意n≥2成立.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn.進(jìn)而得出cn,T2n.
(3)Tn≥λcn,即n2+2n+1﹣2≥λcn,對(duì)n分類(lèi)討論即可得出.
(1)由,即,所以,
兩式相減得,,
故,
因?yàn)?/span>,所以.
又由得.
所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)由題意,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,故.
所以,
數(shù)列的前項(xiàng)和,數(shù)列的前項(xiàng)和.
所以,.
(3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),設(shè)(),由(2)知,,,
由,得,
即,
設(shè),則,
所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí),,所以,.
所以,.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),設(shè)(),則,
,
由,得,即,
設(shè),則
,故單調(diào)遞增,,故.
綜上,的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為的、,離心率為;過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí), 點(diǎn)在軸上的射影為。連結(jié)并延長(zhǎng)分別交于、兩點(diǎn),連接; 與的面積分別記為, ,設(shè).
(Ⅰ)求橢圓和拋物線的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,是它的上頂點(diǎn),點(diǎn)各不相同且均在橢圓上.
(1)若恰為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),求的面積;
(2)若,求證:直線過(guò)一定點(diǎn);
(3)若,的外接圓半徑為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)常數(shù))滿足.
(1)求出的值,并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的最小值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)取最小值時(shí),證明:恰有一個(gè)零點(diǎn)且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列,使得成立.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且傾斜角為.
(1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線參數(shù)方程為為參數(shù)),將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,得到曲線.
(1)求曲線的普通方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn),求取得最小值時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日舉行,中國(guó)女排以十一勝衛(wèi)冕女排世界杯冠軍,四人進(jìn)入最佳陣容,女排精神,已經(jīng)是一種文化.為了了解某市居民對(duì)排球知識(shí)的了解情況,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100人參加排球知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查,將得分情況整理后作出的直方圖如下:
(1)求圖中實(shí)數(shù)的值,并估算平均得分(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(2)得分在90分以上的稱(chēng)為“鐵桿球迷”,以樣本頻率估計(jì)總體概率,從該市居民中隨機(jī)抽取4人,記這四人中“鐵桿球迷”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,四邊形滿足且,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn),且.
(1)求證:平面平面;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得二面角的余弦值為?若存在,試求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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