【題目】已知橢圓的離心率,短軸的一個端點到焦點的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)斜率為的直線與橢圓交于,兩點,線段的中點在直線上,求直線軸交點縱坐標的最小值.

【答案】(1) (2)

【解析】

1)根據(jù)離心率及短軸的一個端點到焦點的距離為,可得 的值,進而得橢圓方程。

2)設出點、及直線方程,并將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得韋達定理表達式,根據(jù)判別式可得,根據(jù)線段的中點在直線上可得,進而用k表示出m,結合基本不等式可求得m的最小值。

1)由已知得橢圓的離心率為,短軸的一個端點到焦點的距離為,

解得

所以橢圓的方程為

2)設直線的方程為,則直線軸交點的縱坐標為

設點,

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立

化簡得

由韋達定理得,,

,化簡得.

由線段的中點在直線上,得,

,即,

所以,

當且僅當,即時取等號,此時,滿足,

因此,直線軸交點縱坐標的最小值為.

練習冊系列答案
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分組

手機價格X(元)

頻數(shù)

10

x

y

20

20

1)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第一、二、三組中隨機抽取6人,將該樣本看成一個總體,從中隨機抽取2人,求其中恰有1人能接受的價格不低于2000元的概率;

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滿意

不滿意

總計

文科

22

18

40

理科

48

12

60

總計

70

30

100

1)根據(jù)數(shù)據(jù),有多大的把握認為對考試的結果滿意與科別有關;

2)用分層抽樣方法在感覺不滿意的學生中隨機抽取名,理科生應抽取幾人;

3)在(2)抽取的名學生中任取2名,求文科生人數(shù)的期望.其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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