已知函數(shù)(k為常數(shù),e=2.71828……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行。
(1)求k的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù),證明:對(duì)任意,。
(1);(2)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,列方程求;(2)求的解集和定義域求交集,得單調(diào)遞增區(qū)間;求的解集并和定義域求交集,得單調(diào)遞減區(qū)間,該題,可觀察當(dāng)時(shí),;時(shí),.所以單調(diào)區(qū)間可求;(3)思路一:考慮的最大值,證明最大值小于即可,但是考慮到解析式的復(fù)雜性,可對(duì)不等式等價(jià)變形;思路二:原不等式等價(jià)于
,記,利用導(dǎo)數(shù)可求其最大值為,從圖象可以判斷的圖象在直線的上方,也就是說恒成立,故,所以命題得證.
試題解析:(Ⅰ)由得由于曲線在處的切線與x軸平行,所以,因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),又,所以時(shí),;時(shí),. 因此的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間
(Ⅲ)證明因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031104502414028029/SYS201403110450557340357898_DA.files/image038.png">,所以因此對(duì)任意等價(jià)于 由(Ⅱ)知
所以因此當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增. 所以的最大值為 故 設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031104502414028029/SYS201403110450557340357898_DA.files/image050.png">,所以時(shí),單調(diào)遞增,
故時(shí),即所以因此對(duì)任意
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2、導(dǎo)數(shù) 在單調(diào)性上的應(yīng)用;3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題12分)已知函數(shù)(m為常數(shù),m>0)有極大值9.
(1)求m的k*s#5^u值;
(2)若斜率為-5的k*s#5^u直線是曲線的k*s#5^u切線,求此直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東省濰坊市高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)(a為常數(shù))在x=1處的切線的斜率為1.
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,
(2)若不等式≥k在區(qū)間上恒成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年黑龍江省“五校聯(lián)誼”高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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