Question

已知0＜b＜1+a，記關(guān)于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集為M．
（1）若集合M中的整數(shù)有無(wú)限個(gè)，求a的范圍；
（2）若集合M中的整數(shù)恰有3個(gè)，求證：1＜a＜3．

Answer 1

解：（1）由（x-b）²＞（ax）² 得[（1+a）x-b][（1-a）x-b]＞0，由于0＜b＜1+a，
①若1-a=0，即a=1時(shí)，不等式化為（2x-b）（-b）＞0，
解得M={x|x＜ }，顯然M中的整數(shù)有無(wú)限個(gè)，符合條件．
②1-a≠0，即a≠1時(shí)，若要有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，則應(yīng)1-a＞0，即a＜1；
再由已知條件0＜b＜1+a，可得a＞-1．
綜上可知-1＜a≤1．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1時(shí)，x的解在兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，不等式即（x-）（x-）＜0，
又可得，所以集合M=．
若要M中的整數(shù)恰有3個(gè)，則 ，
所以，，解得a＜3．
綜上可知1＜a＜3．
分析：（1）由題意可得①若1-a=0，M={x|x＜ }，顯然M中的整數(shù)有無(wú)限個(gè)，符合條件．②1-a≠0，若要有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，則應(yīng)1-a＞0，即a＜1，再由已知0＜b＜1+a，得到a的范圍．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1時(shí)，x的解在兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，集合M=，若要M中的整數(shù)恰有3個(gè)，則，從而得到，求得a＜3，進(jìn)而得到命題成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．