Question

設(shè)橢圓C₁:+=1(a>b>0),拋物線(xiàn)C₂:x²+by=b².

(1)若C₂經(jīng)過(guò)C₁的兩個(gè)焦點(diǎn),求C₁的離心率;
(2)設(shè)A(0,b),Q（3,b）,又M,N為C₁與C₂不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△AMN的垂心為B（0,b）,且△QMN的重心在C₂上,求橢圓C₁和拋物線(xiàn)C₂的方程.

Answer 1

（1）  （2）+=1    x²+2y=4

解:(1)因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C₂經(jīng)過(guò)橢圓C₁的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁(-c,0),F₂(c,0),
可得c²=b²,
由a²=b²+c²=2c²,
有=,
所以橢圓C₁的離心率e=.
(2)由題設(shè)可知M,N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),
設(shè)M(-x₁,y₁),N(x₁,y₁)(x₁>0),
則由△AMN的垂心為B,有·=0.
所以-+（y₁-b）(y₁-b)=0.①
由于點(diǎn)N(x₁,y₁)在C₂上,
故有+by₁=b².②
由①②得y₁=-或y₁=b(舍去),
所以x₁=b,
故M（-b,-）,N（b,-）,
所以△QMN的重心坐標(biāo)為（,）.
由重心在C₂上得3+=b²,
所以b=2,
M（-,-）,N（,-）.
又因?yàn)镸,N在C₁上,
所以+=1,
解得a²=.
所以橢圓C₁的方程為+=1.
拋物線(xiàn)C₂的方程為x²+2y=4.