Question

10．雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為右支上一點，且|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|=8，$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，則雙曲線的漸近線方程是（　�。�

• A． y=±2$\sqrt{2}$x
• B． y=±2$\sqrt{6}$x
• C． y=±5x
• D． y=±$\frac{3}{4}$x

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義可知：丨$\overrightarrow{{PF}_{2}}$丨=6，由$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，根據(jù)勾股定理可得丨F₁F₂丨=10，求得c，由雙曲線a，b和c的關(guān)系，求得b，利用雙曲線的漸近線方程公式求得雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由已知a=1，|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|=8，由雙曲線的定義可知：丨$\overrightarrow{{PF}_{2}}$丨=6，
又∵$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，
由勾股定理可知：丨F₁F₂丨=10，
即c=5，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
則漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±2$\sqrt{6}$x，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)的應用，勾股定理，考查計算能力，屬于中檔題．