Question

13．如圖，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP于D，現(xiàn)將△PCD沿線(xiàn)段CD折成60°的二面角P-CD-A，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面EFG；
（2）若M為線(xiàn)段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線(xiàn)MF與平面EFG所成的角最大？并求此最大角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作AD的垂線(xiàn)，垂足為O，則PO⊥平面ABCD．過(guò)O作BC的垂線(xiàn)，交BC于H，分別以O(shè)H，OD，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PA∥平面EFG．
（2）求出$\overrightarrow{MF}=（\frac{3}{2}-x，-1，\sqrt{3}）$和平面EFG的法向量，利用向量法能出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵AD⊥CD，PD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD
過(guò)P作AD的垂線(xiàn)，垂足為O，則PO⊥平面ABCD．
過(guò)O作BC的垂線(xiàn)，交BC于H，
分別以O(shè)H，OD，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵∠PDO是二面角P-PC-A的平面角，∴∠PDO=60°，
又∵PD=4，∴$OP=2\sqrt{3}．OD=2，AO=1$，
$A（0，-1，0），P（0，0，2\sqrt{3}），D（0，2，0）$，$E（0，1，\sqrt{3}），F(xiàn)（\frac{3}{2}，1，\sqrt{3}），G（3，\frac{1}{2}，0）$，
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{2}$，0，0），$\overrightarrow{EG}$=（3，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{3}{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=3x-\frac{1}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{PA}=（0，-1，-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}$=0，
∴$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PA}$，又PA?平面EFG，
故PA∥平面EFG．
解：（2）設(shè)M（x，2，0），則$\overrightarrow{MF}=（\frac{3}{2}-x，-1，\sqrt{3}）$，
設(shè)MF與平面EFG所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MF}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{MF}|}$|=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{（\frac{3}{2}-x）^{2}+4}}$，
故當(dāng)$x=\frac{3}{2}時(shí)，sinθ$取到最大值，則θ取到最大值，
此時(shí)點(diǎn)M為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，MF與平面EFG所成角的余弦值$cosθ=\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查滿(mǎn)足線(xiàn)面角最大的點(diǎn)的確定與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．