Question

已知f（x-1）是偶函數(shù)（x∈R且x≠0）且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（-2）=0，則關(guān)于x的不等式：（x+1）f（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-∞，-2）∪（-1，+∞）
• B、（-2，-1）∪（0，+∞）
• C、（-2，0）
• D、（-1，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x-1）是偶函數(shù)和圖象的平移，求出函數(shù)f（x）的對稱軸，由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，再由f（-2）=0和對稱軸是x=-1得f（0）=0，再對x+1進行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性和特殊函數(shù)值，求出不等式（x+1）f（x）＞0的解集．

解答： 解：函數(shù)f（x）的圖象可由f（x-1）的圖象向左平移1個單位得到，
因為偶函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f（x）圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
又f（x-1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（-2）=0和對稱軸是x=-1得f（0）=0，
當(dāng)x+1＜0時，f（x）＜0=f（-2），解得-2＜x＜-1；
當(dāng)x+1＞0時，f（x）＞0=f（0），解得x＞0，
綜上得，不等式（x+1）f（x）＞0解集為（0，+∞）∪（-2，-1），
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用，圖象的平移法則，以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想．