16.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠FAB=$\frac{3}{5}$,則C的離心率e=$\frac{5}{7}$.

分析 如圖所示,設(shè)右焦點為F′,由橢圓的對稱性與定義可得:BF′=AF=6,BF=2a-6.在△ABF中,由余弦定理可得:cos∠FAB=$\frac{3}{5}$=$\frac{{6}^{2}+1{0}^{2}-(2a-6)^{2}}{2×6×10}$,解得a,在△OAF中,由余弦定理可得:c.

解答 解:如圖所示,
設(shè)右焦點為F′,由橢圓的對稱性與定義可得:BF′=AF=6,BF=2a-6.
在△ABF中,由余弦定理可得:
cos∠FAB=$\frac{3}{5}$=$\frac{{6}^{2}+1{0}^{2}-(2a-6)^{2}}{2×6×10}$,
解得a=7,
在△OAF中,由余弦定理可得:c2=62+52-2×6×5×$\frac{3}{5}$=25,解得c=5.
∴e=$\frac{5}{7}$.
故答案為:$\frac{5}{7}$.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、余弦定理,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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