【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0,e2]上有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(1,e2-2].
【解析】試題分析:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=.由f′(x)=0,
得x=e1-a,可求得單調(diào)區(qū)間與極值。(2)由于f(x)=1在區(qū)間(0,e2]上有兩上零點(diǎn),所以要考慮x=e1-a是否在區(qū)間(0,e2]上進(jìn)行分類討論。
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=.
令f′(x)=0,得x=e1-a,
當(dāng)x∈(0,e1-a)時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(e1-a,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,e1-a);單調(diào)減區(qū)間為(e1-a,+∞),f(x)極大值=f(e1-a)=ea-1,無極小值.
(Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)e1-a<e2,即a>-1時(shí),由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間(0,e1-a)上是增函數(shù),
在區(qū)間(e1-a,e2]上是減函數(shù),f(x)max=f(e1-a)=ea-1.
又f(e-a)=0,f(e2)=,所以函數(shù)f(x)的圖象與g(x)=1的圖象在(0,e2]上有兩個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于≤1<ea-1,解得1<a≤e2-2(滿足a>-1).
(ⅱ)當(dāng)e1-a≥e2,即a≤-1時(shí),f(x)在(0,e2]上是增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn),故不滿足題意.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,e2-2].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為B,A,線段AB的中點(diǎn)為D,且,△AOB的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過F1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),若△MF2N的面積為,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.
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【題目】四棱錐A-BCDE中,側(cè)棱AD⊥底面BCDE,底面BCDE是直角梯形,DE∥BC,BC⊥CD,BC=2AD=2DC=2DE=4,H,I分別是AD,AE的中點(diǎn).
(Ⅰ)在AB上求作一點(diǎn)F,BC上求作一點(diǎn)G,使得平面FGI∥平面ACD;
(Ⅱ)求平面CHI將四棱錐A-BCDE分成的兩部分的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x+ax-+b.
(1)若函數(shù)g(x)=f(x)+為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)≤0恒成立,證明:a≤1-b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 且.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得恒為定值?若存在,求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題共12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C為30°,設(shè)PM=tMC,試確定t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示,經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定,棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面,該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶區(qū)建筑用地,測量可知邊界AB=AD=4萬米,BC=6萬米,CD=2萬米.
(1)請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及AC的長;
(2)因地理?xiàng)l件的限制,邊界AD,DC不能變更,而邊界AB,BC可以調(diào)整,為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率,請(qǐng)?jiān)?/span>上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P,使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地APCD的面積最大,并求出最大值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓:=4 cos 與直線l:= (∈R)交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求以AB為直徑的圓的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在圓任取一點(diǎn),在圓上任取一點(diǎn),求的最大值.
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