Question

12．設(shè)x=1與x=3是函數(shù)f（x）=alnx+bx²+x的兩個極值點．
（1）試確定常數(shù)a和b的值；
（2）試判斷x=1，x=3是函數(shù)f（x）的極大值點還是極小值點，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)的極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程，求出a，b的值．
（2）由（1）作出表示x，f′（x），f（x）的關(guān)系的表格；據(jù)極值的定義，求出極值點即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2bx+1，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（3）=0}\end{array}\right.$，
∴$a=-\frac{3}{4}，b=-\frac{1}{8}$
（2）x變化時．f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

故在x=1處，函數(shù)f（x）取極小值；在x=3處，函數(shù)f（x）取得極大值，
故x=1是極小值點，x=3是極大值點．

點評 本題考查函數(shù)的極值點的導(dǎo)數(shù)的值為0、利用 導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值．