【題目】已知拋物線:內(nèi)有一點,過的兩條直線,分別與拋物線交于,和,兩點,且滿足,,已知線段的中點為,直線的斜率為.
(1)求證:點的橫坐標為定值;
(2)如果,點的縱坐標小于3,求的面積的最大值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)設(shè)中點為,根據(jù)向量的線性運算可知,且,和三點共線,利用點差法可得,,即,可知軸,故為定值(2)由得到,設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程可求,寫出面積公式即可求最值.
(1)設(shè)中點為,則由,可推得,,這說明,且,和三點共線.
對,使用點差法,可得,即.
同理.
于是,即軸,所以為定值.
(2)由得到,設(shè),,聯(lián)立
得,所以,,
根據(jù)點到直線的距離公式知P到AB的距離為,
于是,令x=,則,
,令得,當時, ,函數(shù)為增函數(shù),當時,,函數(shù)為減函數(shù),故當,即時,有最大值.
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【題目】如圖,四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是正方形,,E為PC上一點,當F為DC的中點時,EF平行于平面PAD.
(Ⅰ)求證:平面PCB;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過點.
(1)寫出拋物線的標準方程及其準線方程,并求拋物線的焦點到準線的距離;
(2)過點且斜率存在的直線與拋物線交于不同的兩點,,且點關(guān)于軸的對稱點為,直線與軸交于點.
(i)求點的坐標;
(ii)求與面積之和的最小值.
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【題目】2019年上半年我國多個省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情,生豬大量病死,存欄量急劇下降,一時間豬肉價格暴漲,其他肉類價格也跟著大幅上揚,嚴重影響了居民的生活.為了解決這個問題,我國政府一方面鼓勵有條件的企業(yè)和散戶防控疫情,擴大生產(chǎn);另一方面積極向多個國家開放豬肉進口,擴大肉源,確保市場供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當前市場形勢,決定響應(yīng)政府號召,擴大生產(chǎn),決策層調(diào)閱了該企業(yè)過去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù),就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進行研究.現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:
生豬存欄數(shù)量(千頭) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
頭豬每天平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.5 |
(1)研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認為與具有線性回歸關(guān)系,請幫他求出關(guān)于的線性回歸方程(保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字)
(2)研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出與的回歸模型:.為了評價兩種模型的擬合結(jié)果,請完成以下任務(wù):
①完成下表(計算結(jié)果精確到0.01元)(備注:稱為相應(yīng)于點的殘差);
生豬存欄數(shù)量(千頭) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
頭豬每天平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.5 | |
模型甲 | 估計值 | |||||
殘差 | ||||||
模型乙 | 估計值 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.76 | 1.4 |
殘差 | 0 | 0 | 0 | 0.14 | 0.1 |
②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較與的大小,判斷哪個模型擬合效果更好;
(3)根據(jù)市場調(diào)查,生豬存欄數(shù)量達到1萬頭時,飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元;生豬存欄數(shù)量達到1.2萬頭時,飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元.若按(2)中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本,問該生豬存欄數(shù)量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤?請說明理由.(利潤=收入-成本)
參考公式:,
參考數(shù)據(jù): .
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【題目】已知函數(shù)(是常數(shù)).
(1)若,求函數(shù)的值域;
(2)若為奇函數(shù),求實數(shù).并證明的圖像始終在的圖像的下方;
(3)設(shè)函數(shù),若對任意,以為邊長總可以構(gòu)成三角形,求的取值范圍.
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【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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【題目】.華為公司研發(fā)的5G技術(shù)是中國在高科技領(lǐng)域的重大創(chuàng)新,目前處于世界領(lǐng)先地位,今年即將投入使用,它必將為人們生活帶來別樣的精彩,成為每個中國人的驕傲.現(xiàn)假設(shè)在一段光纖中有條通信線路,需要輸送種數(shù)據(jù)包,每條線路單位時間內(nèi)輸送不同數(shù)據(jù)包的大小數(shù)值如表所示.若在單位時間內(nèi),每條線路只能輸送一種數(shù)據(jù)包,且使完成種數(shù)據(jù)包輸送的數(shù)值總和最大,則下列敘述正確的序號是_______.
①甲線路只能輸送第四種數(shù)據(jù)包;
②乙線路不能輸送第二種數(shù)據(jù)包;
③丙線路可以不輸送第三種數(shù)據(jù)包;
④丁線路可以輸送第三種數(shù)據(jù)包;
⑤戊線路只能輸送第四種數(shù)據(jù)包.
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