(2008•黃浦區(qū)一模)(理科)△ABC中,已知∠A=
π
3
,邊BC=2
3
,設∠B=x,△ABC的周長為y.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(2)求函數(shù)y=f(x)的值域.
分析:(1)由A的度數(shù)及設出的B的值,利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù),根據(jù)C大于0列出關于x的不等式,求出不等式的解集得到x的范圍,即為函數(shù)的定義域,再由BC=a的值,sinA,sinx,及表示出的sinC的值,利用正弦定理表示出b和c,然后三邊相加即可列出y關于x的函數(shù)解析式;
(2)把(1)得到的函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡,合并后,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),由(1)求出的函數(shù)定義域,得出這個角的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域,進而得到函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(1)△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π,且A=
π
3
,B=x,C>0

C=
3
-x>0,0<x<
3

由正弦定理,知
2
3
sin
π
3
=
b
sinx
=
c
sin(
3
-x)
,
b=4sinx
c=4sin(
3
-x)

所以y=4sinx+4sin(
3
-x)+2
3
(0<x<
3
)


(2)由(1)知,
y=4sinx+4sin(
3
-x)+2
3
(0<x<
3
)

=6sinx+2
3
cosx+2
3

=4
3
sin(x+
π
6
)+2
3
(
π
6
<x+
π
6
6
)

由正弦函數(shù)的圖象知,當
π
6
<x+
π
6
6
時,有
1
2
<sin(x+
π
6
)≤1

于是,4
3
<4
3
sin(x+
π
6
)+2
3
≤6
3
,
所以,函數(shù)y=4sinx+4sin(
3
-x)+2
3
(0<x<
3
)
的值域是(4
3
,6
3
]
點評:此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域及值域,第一問利用正弦定理建立了三角形的邊角關系,表示出b和c來解決問題,第二問利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本問的關鍵.
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