15.已知函數(shù)f(x)=${log_{\frac{1}{2}}}|{sin(x-\frac{π}{4})}$|.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)判定f(x)的奇偶性,并求出它的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的定義域和值域.
(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律,求得f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=${log}_{\frac{1}{2}}$|sin(x-$\frac{π}{4}$)|,∴sin(x-$\frac{π}{4}$)≠0,∴x-$\frac{π}{4}$≠kπ,即 x≠kπ+$\frac{π}{4}$,k∈Z,
即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$,k∈Z}.
∵|sin(x-$\frac{π}{4}$)|∈(0,1],∴數(shù)f(x)=${log}_{\frac{1}{2}}$|sin(x-$\frac{π}{4}$)|≥0,故函數(shù)的值域?yàn)閇0,+∞).
(2)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$,k∈Z} 不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
當(dāng)kπ<x-$\frac{π}{4}$≤kπ+$\frac{π}{2}$時(shí),即x∈(kπ+$\frac{π}{4}$,kπ+$\frac{3π}{4}$]時(shí),|sin(x-$\frac{π}{4}$)|單調(diào)遞增,f(x)單調(diào)遞減,
故函數(shù)的減區(qū)間為(kπ+$\frac{π}{4}$,kπ+$\frac{3π}{4}$].
當(dāng)kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$<kπ+π時(shí),即x∈[kπ+$\frac{3π}{4}$,kπ+$\frac{5π}{4}$)時(shí),|sin(x-$\frac{π}{4}$)|單調(diào)遞減,f(x)單調(diào)遞增,
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{4}$,kπ+$\frac{5π}{4}$).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

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(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和;
(3)證明:當(dāng)n≥2時(shí),$\sqrt{\frac{1}{{{a_1}+2}}}+\sqrt{\frac{1}{{{a_2}+2}}}+\sqrt{\frac{1}{{{a_3}+2}}}+…+\sqrt{\frac{1}{{{a_n}+2}}}>\sqrt{n}$.

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