如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,過點A的直線交⊙O于點P,交BC的延長線于點D,且AB2=AP•AD
(Ⅰ)求證:∠ABC=∠ACB
(Ⅱ)如果∠ABC=60°,⊙O的半徑為1,且P為弧AC的中點,求AD的長.
分析:(Ⅰ)連接BP,由已知等式變形得到比例式,再由一對公共角相等,得三角形ABD與三角形APB相似,由相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等,再利用圓周角定理得到一對角相等,等量代換即可得證;
(Ⅱ)由第一問的結(jié)論得到AB=AC,再由∠ABC=60°,得到三角形ABC為等邊三角形,由P為弧AC中點,利用弧,圓心角及弦之間的關(guān)系得到BP為角平分線,求出∠ABC=30°,進而確定出三角形ABP為直角三角形,確定出BP為圓的直徑,確定出BP的長,再利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AP的長,李艷艷余弦定理求出AB的長,代入已知等式中計算即可求出AD的長.
解答:解:(Ⅰ)證明:連接BP,
∵AB2=AP•AD,∴
AB
AP
=
AD
AB
,
又∵∠BAD=∠PAB,
∴△ABD∽△APB,
∴∠ABC=∠APB,
∵∠ACB=∠APB,
∴∠ABC=∠ACB;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:AB=AC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
∵P為弧AC的中點,
∴∠ABP=∠PAC=
1
2
∠ABC=30°,
∴∠BAP=90°,
∴BP是圓O的直徑,
∴BP=2,
∴AP=
1
2
BP=1,
在Rt△PAB中,由勾股定理得:AB=
3

∴AD=
AB2
AP
=3.
點評:此題考查了余弦定理,相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),以及含30度直角三角形的性質(zhì),熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,設(shè)AE與平面ABC所成的角為θ,且tanθ=
3
2
,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點M,使得MO∥平面ADE?證明你的結(jié)論.

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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,直線MN切⊙O于點C,BE∥MN交AC于點E.若AB=6,BC=4,求AE的長.

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如圖,△ABC內(nèi)接于圓柱的底面圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,DC、EB是兩條母線,且 tan∠EAB=
3
2

(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點M,使得MO∥平面ADE,證明你的結(jié)論.

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(2013•沈陽二模)選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,PA是過點A的直線,且∠PAC=∠ABC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如果弦CD交AB于點E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求直徑AB的長.

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如圖:△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,直線MN切⊙O于點C,BE∥MN交AC于點E,若AB=6,BC=4,則AE的長為( 。

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