Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^|ln2x|-|x-$\frac{1}{4x}$|，若f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，則下面結(jié)論正確的是（　�。�

• A． x₁+x₂-1＞0
• B． x₁+x₂-1＜0
• C． x_2-x₁＞0
• D． x_2-x₁＜0

Answer 1

分析 通過分段化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合f（x₁）=f（x₂），作差可得f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）．構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（1-x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）．利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，得到f（x₂）＞f（1-x₁）．再由f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，可得x₁+x₂-1＞0．

解答 解：∵f（x）=e^|ln2x|-|x-$\frac{1}{4x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-（x-\frac{1}{4x}），x≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2x}+（x-\frac{1}{4x}），0＜x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x+$\frac{1}{4x}$（x＞0），
∵f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，
∴不妨設(shè)x₁＜x₂，則0＜x₁＜$\frac{1}{2}$＜x₂．
故1-x₁＞$\frac{1}{2}$．
∴f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）．
設(shè)g（x）=f（x）-f（1-x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）．
則g（x）=2x+$\frac{1}{4x}+\frac{1}{4（x-1）}-1$．
g′（x）=$2-\frac{1}{4{x}^{2}}-\frac{1}{4（1-x）^{2}}$＜0．
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)為減函數(shù)．
得g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=0，
從而f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）＞0．
故f（x₂）＞f（1-x₁）．
又f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴x₂＞1-x₁，即x₁+x₂-1＞0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．