【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2﹣a),a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣3,0)上單調(diào)遞減,試求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)的最小值為﹣2e,試求a的值.
【答案】
(1)解:由題意可知f'(x)=ex(x2+2x﹣a).
因?yàn)閍=1,則f(0)=﹣1,f'(0)=﹣1,
所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y﹣(﹣1)=﹣(x﹣0).
即x+y+1=0.
(2)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(﹣3,0)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x∈(﹣3,0)時(shí),f'(x)=ex(x2+2x﹣a)≤0恒成立.
即當(dāng)x∈(﹣3,0)時(shí),x2+2x﹣a≤0恒成立.
顯然,當(dāng)x∈(﹣3,﹣1)時(shí),函數(shù)g(x)=x2+2x﹣a單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(﹣1,0)時(shí),函數(shù)g(x)=x2+2x﹣a單調(diào)遞增.
所以要使得“當(dāng)x∈(﹣3,0)時(shí),x2+2x﹣a≤0恒成立”,
等價(jià)于 即 所以a≥3.
(3)解:設(shè)g(x)=x2+2x﹣a,則△=4+4a.
①當(dāng)△=4+4a≤0,即a≤﹣1時(shí),g(x)≥0,所以f'(x)≥0.
所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)單增,所以函數(shù)f(x)沒有最小值.
②當(dāng)△=4+4a>0,即a>﹣1時(shí),令f'(x)=ex(x2+2x﹣a)=0得x2+2x﹣a=0,
解得
隨著x變化時(shí),f(x)和f'(x)的變化情況如下:
x | |||||
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
當(dāng)x∈ 時(shí), .
所以 .
所以f(x)=ex(x2﹣a)>0.
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小值為﹣2e<0,
所以函數(shù)f(x)的最小值只能在 處取得.
所以 .
所以 .
易得 .
解得a=3.
以下證明解的唯一性,僅供參考:
設(shè)
因?yàn)閍>0,所以 , .
設(shè) ,則 .
設(shè)h(x)=﹣xex,則h'(x)=﹣ex(x+1).
當(dāng)x>0時(shí),h'(x)<0,從而易知g(a)為減函數(shù).
當(dāng)a∈(0,3),g(a)>0;當(dāng)a∈(3,+∞),g(a)<0.
所以方程 只有唯一解a=3
【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出x=0處的切線斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程;(2)函數(shù)f(x)在(﹣3,0)上單調(diào)遞減,即當(dāng)x∈(﹣3,0)時(shí),x2+2x﹣a≤0恒成立.要使得“當(dāng)x∈(﹣3,0)時(shí),x2+2x﹣a≤0恒成立”,等價(jià)于 即 所以a≥3.(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)f(x)的最小值只能在 處取得.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A,B,C,D四點(diǎn),則的值為( )
A. B. C. 1 D.
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【題目】已知圓M的方程為x2+(y﹣2)2=1,直線l的方程為x﹣2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,求切線PA,PB的方程;
(2)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a,且在圓M上存在點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,,且.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)若,且函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,試判斷點(diǎn)是否在直線上? 并說明理由.
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【題目】已知分別是雙曲線E: 的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn), 到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍,(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)當(dāng)時(shí), 的面積為,求此雙曲線的方程。
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【題目】設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的實(shí)根分別為x1、x2和x3、x4 , 若x1<x3<x2<x4 , 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a4+a7=20,對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 .
(I) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}定義如下:2mbm(m∈N*)是使不等式an≥m成立所有n中的最小值,求{bn}的通項(xiàng)公式及{(﹣1)m﹣1bm}的前2m項(xiàng)和T2m .
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【題目】在一次數(shù)學(xué)競賽中,30名參賽學(xué)生的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示:若將參賽學(xué)生按成績由高到低編為1﹣30號,再用系統(tǒng)抽樣法從中抽取6人,則其中抽取的成績在[77,90]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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【題目】已知:條件p:實(shí)數(shù)t滿足使對數(shù)log2(﹣2t2+7t﹣5)有意義;條件q:實(shí)數(shù)t滿足不等式t2﹣(a+3)t+a+2<0
(1)若命題¬p為真,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)若命題p是命題q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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