Question

9．近年來我國電子商務行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇．2016年618期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達516億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次．
（Ⅰ）先完成關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量X：
①求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列；
②求X的數(shù)學期望和方差．
附臨界值表：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

K²的觀測值：k=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）
關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	a=80	b=40	120
對商品不滿意	c=70	d=10	80
合計	150	50	n=200

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，代入公式求得k²的值，對應數(shù)表得答案；
（Ⅱ）①每次購物時，對商品和服務全好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相應的概率，可得對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②利用二項分布的數(shù)學期望和方差求X的數(shù)學期望和方差．

解答 解：（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表如下：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計	150	50	200

…2分
K²=$\frac{200×（80×10-40×70）^{2}}{150×50×120×80}$≈11.111＞10.828 …4分
故能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關．…5分
（2）①每次購物時，對商品和服務都好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．
其中P（X=0）=0.6³=$\frac{27}{125}$； P（X=1）=C₃¹•0.4•0.6²=$\frac{54}{125}$；…7分
P（X=2）=C₃²•0.4²•0.6=$\frac{36}{125}$； P（X=3）=C₃³•0.4³=$\frac{8}{125}$．…9分
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…10分
②由于X～B（3，0.4），則E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．

點評 本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，對考生的對數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題．