Question

8．是否存在m使不等式2x-1＞m（x²-1）對滿足-2≤x≤2的一切實數(shù)x都成立？

Answer 1

分析 令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），原問題轉(zhuǎn)化為：使|x|≤2的一切實數(shù)都有2x-1＞m（x²-1）成立．對m的值進行分類討論：當(dāng)m=0時，不滿足題意；當(dāng)m≠0時，利用而成的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求解從而得出結(jié)論．

解答 解：2x-1＞m（x²-1），可得：-mx²+2x+（m+1）＞0，
令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），使|x|≤2的一切實數(shù)都有2x-1＞m（x²-1）成立．
當(dāng)m=0時，f（x）=2x-1在$\frac{1}{2}$≤x＜2時，f（x）≥0．（不滿足題意）
當(dāng)m≠0時，二次函數(shù)的對稱軸為：x=$\frac{1}{m}$，
f（x）只需滿足下式：$\left\{\begin{array}{l}{-m＞0}\\{\frac{1}{m}≤-2}\\{f（-2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{1}{m}≤-2}\\{-3m-5＞0}\end{array}\right.$，解得m∈∅
或$\left\{\begin{array}{l}{-m＞0}\\{-2＜\frac{1}{m}≤2}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-2＜\frac{1}{m}≤2}\\{4+4m（m-1）＜0}\end{array}\right.$，解得m∈∅
或$\left\{\begin{array}{l}{-m＞0}\\{\frac{1}{m}＞2}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{1}{m}＞2}\\{-3m+3＞0}\end{array}\right.$，解得m∈∅
或$\left\{\begin{array}{l}{-m＜0}\\{f（2）＞0}\\{f（-2）＞0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{-3m-5＞0}\\{-3m+3＞0}\end{array}\right.$，解得m∈∅
綜上m結(jié)果為空集．
故沒有m滿足題意．

點評 本題以不等式為載體，恒成立問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，變換主元，考查解不等式的能力．屬于中檔題．