Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n（n∈N^*），數(shù)列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₁•S₂•S₃…S₁₀=$\frac{1}{11}$．

Answer 1

分析 根據(jù)2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n，求出a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和裂項(xiàng)法即可得到$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，裂項(xiàng)求和得到S_n，代值計(jì)算即可．

解答 解：∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n，
∴2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=n-1，
∴2ⁿa_n=1，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{-n}•lo{g}_{2}{2}^{-（n+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴S₁•S₂•S₃…S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{9}{10}$×$\frac{10}{11}$=$\frac{1}{11}$，
故答案為：$\frac{1}{11}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．