Question

13．△ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）是真命題，類比該命題，將下面命題補(bǔ)充完整，使它也是真命題：在四面體A-BCD中，若G為△BCD的①，則$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$），則①處應(yīng)該填（　　）

• A． 中心
• B． 重心
• C． 外心
• D． 垂線

Answer 1

分析 在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則有$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），平面可類比到空間就是“△ABC”類比“四面體A-BCD”，“中點(diǎn)”類比“重心”得結(jié)論．

解答 解：由“△ABC”類比“四面體A-BCD”，“中點(diǎn)”類比“重心”，有：
在四面體A-BCD中，若G為△BCD的重心，則$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$）．
事實(shí)上，如圖：

若G為△BCD的重心，連接BG并延長交CD于E，
連接AE，則$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}）$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了從平面類比到空間，屬于基本類比推理．利用類比推理可以得到結(jié)論、證明類比結(jié)論時(shí)證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉(zhuǎn)化為類比對象的結(jié)論，該題是中檔題．