Question

已知函數(shù)f(x)=(

x-1

x+1

)2(x＞1)．
（1）求f^-1（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f^-1（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)于區(qū)間[

1

4

，

1

2

]上的每一個(gè)x的值，不等式(1-

x

)f-1(x)＞m(m-

x

)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=(

x-1

x+1

)2(x＞1)解x，交換x、y的位置，求出f^-1（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性相同，求f^-1（x）的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）把f^-1（x）的表達(dá)式代入不等式(1-

x

)f-1(x)＞m(m-

x

)中，整理轉(zhuǎn)化為關(guān)于

x

的不等式恒成立，借助于一次函數(shù)的圖象可得關(guān)于m的不等式組，求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由y=(

x-1

x+1

)2(x＞1)，得

x-1

x+1

=

y

，
即x-1=

y

(x+1)，于是x=

1+ y

1- y

．
又x＞1時(shí)，

x-1

x+1

=1-

2

x+1

∈（0，1），所以(

x-1

x+1

)2∈（0，1）．

f-1(x)=

1+ x

1- x

 (0＜x＜1)．
（2）由于

x-1

x+1

=1-

2

x+1

是（1，+∞）上的增函數(shù)，且

x-1

x+1

＞0，
∴f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
從而f^-1（x）是（0，1）上的增函數(shù)；
（3）（1-

x

）f^-1（x）＞m（m-

x

），亦即(1+m)

x

-m2+1＞0在區(qū)間[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
∴

1 2 (1+m)-m2+1＞0 2 2 (1+m)-m2+1＞0.

解得-1＜m＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查求反函數(shù)的方法，體現(xiàn)解方程的思想方法，注意互為反函數(shù)的定義域和值域及單調(diào)性之間的關(guān)系；不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，求函數(shù)的最值體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬難題．