Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面積之比是3：1：4，點E在邊AD上，CE交BD于G，設(shè)$\frac{BG}{GD}=\frac{DE}{EA}=k$．
（1）求$\root{3}{{7{k^2}+20}}$的值；
（2）若點H分線段BE成$\frac{BH}{HE}=2$的兩段，且AH²+BH²+DH²=p²，試用含p的代數(shù)式表示△ABD三邊長的平方和．

Answer 1

分析 （1）不妨設(shè)△ABC、△BCD、△ACD的面積分別為3、1、4，由已知比例關(guān)系可得△ABD、△BDE、△CDG、△CDE、△DEG的面積．由此可得：$\frac{1}{k+1}$+$\frac{6k}{{{{（k+1）}^2}}}$=$\frac{4k}{k+1}$，由此可得k值，則$\root{3}{{7{k^2}+20}}$可求；
（2）由（1）知：E、G分別為AD、BD的中點，又∵點H分線段BE成$\frac{BH}{HE}=2$的兩段，可得點H是△ABD的重心．延長BE到K，使得BE=EK，連結(jié)AK、DK后便得到平行四邊形ABDK，再利用“平行四邊形的四邊平方和等于兩對角線的平方和”可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，同理有$\left\{{\begin{array}{l}{2（B{D^2}+A{D^2}）=A{B^2}+4D{M^2}}\\{2（A{B^2}+A{D^2}）=B{D^2}+4A{G^2}}\end{array}}\right.$，得到3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．進(jìn)一步得到AB²+BD²+AD²=3p²．

解答 解：（1）不妨設(shè)△ABC、△BCD、△ACD的面積分別為3、1、4，
∵$\frac{BG}{GD}=\frac{DE}{EA}=k$，∴△ABD的面積是6，△BDE的面積是$\frac{6k}{k+1}$，△CDG的面積是$\frac{1}{k+1}$，△CDE的面積為$\frac{4k}{k+1}$，△DEG的面積是$\frac{6k}{{{{（k+1）}^2}}}$．
由此可得：$\frac{1}{k+1}$+$\frac{6k}{{{{（k+1）}^2}}}$=$\frac{4k}{k+1}$，即 4k²-3k-1=0，∴k=1，
∴$\root{3}{{7{k^2}+20}}$=3；
（2）由（1）知：E、G分別為AD、BD的中點，又∵點H分線段BE成$\frac{BH}{HE}=2$的兩段，
∴點H是△ABD的重心．
而當(dāng)延長BE到K，使得BE=EK，連結(jié)AK、DK后便得到平行四邊形ABDK，
再利用“平行四邊形的四邊平方和等于兩對角線的平方和”可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，
同理有$\left\{{\begin{array}{l}{2（B{D^2}+A{D^2}）=A{B^2}+4D{M^2}}\\{2（A{B^2}+A{D^2}）=B{D^2}+4A{G^2}}\end{array}}\right.$，其中點M為邊AB的中點．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵$AH=\frac{2}{3}AG，BH=\frac{2}{3}BE，DH=\frac{2}{3}DM$，AH²+BH²+DH²=p²，
∴$B{E^2}+D{M^2}+A{G^2}=\frac{9}{4}{p^2}$，
∴AB²+BD²+AD²=3p²．

點評 本題考查平行線分線段成比例定理，考查推理論證能力與邏輯運算能力，難度較大．