Question

2．已知冪函數(shù)f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=2^x+k，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，記f（x）和g（x）的值域分別為A和B，若B⊆A∩B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)先求出m，結(jié)合集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是冪函數(shù)，
∴（m-1）²=1，
解得m=2或m=0，
若m=2，則f（x）=x⁰，在（0，+∞）上不單調(diào)遞減，不滿足條件；
若m=0，則f（x）=x²，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足條件；
即f（x）=x²；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）∈（1，4]，即A=（1，4]，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，g（x）∈（2+k，4+k]，即B=（2+k，4+k]，
∵B⊆A∩B，∴B⊆A，
則$\left\{\begin{array}{l}{2+k≥1}\\{4+k≤4}\end{array}\right.$，
解得-1≤k≤0，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查冪函數(shù)性質(zhì)和定義的應(yīng)用，函數(shù)值域的計(jì)算以及集合關(guān)系的應(yīng)用，是綜合性題目．