【題目】圓周上分布著2014個點,將其任意染成紅、黃兩色.若從某一點開始,依任一方向繞圓周運動到任一位置,所經(jīng)過的點(含自身)紅點個數(shù)恒大于黃點個數(shù),則稱該點為“優(yōu)點”.為確保圓周上至少有一個優(yōu)點,求圓周上黃點個數(shù)的最大值.
【答案】671
【解析】
優(yōu)點一定為紅點.
首先考慮簡單情形.
當圓周上分別有1、2、3、4、5,6、7個點時,若圓周上至少有一個優(yōu)點,則圓周上黃點個數(shù)最大值分別為0、0、0、1、1、1、2.
由此,得到一般性結(jié)論:圓周上有個點,將其任意染成紅、黃兩色.當且僅當黃點個數(shù)不大于時,才能保證圓周上至少有一個優(yōu)點存在.
接下來用數(shù)學歸納法給出證明.當時,圓周上有四個點(一個黃點三個紅點),在三個相連的紅點中取居中的那個,易知,其為優(yōu)點.故時命題成立.
假設(shè)當時,命題成立,即圓周上有個點,分別染成紅、黃兩色,為確保圓周上至少有一個優(yōu)點,則黃點個數(shù)不超過.
當時,在個黃點中任取一個,記為.在兩旁分別取與最近的紅點,分別記為.將此三點從圓周上拿走,則在圓周上只剩下個點,且滿足時命題成立的條件.
由歸納假設(shè),知圓周上至少存在一個優(yōu)點,記為.再把三點放回原位置.
下面證明:點仍為優(yōu)點.
因為為紅點,所以,點必在弧外.因此,從點出發(fā)到弧()上任一位置,紅點個數(shù)與黃點個數(shù)之差至少大于1,到點時至少大于0.故仍為優(yōu)點.
從而,當時,命題成立.
另一方面,在個點中,若黃點個數(shù)為,將圓周分成段,將個紅色點放入每一段弧中,每段弧中至多兩個點,則每個紅點均不可能為優(yōu)點.
因此,圓周上黃點個數(shù)的最大值為.
又,則圓周上黃點個數(shù)的最大值為671.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市的教育主管部門對所管轄的學校進行年終督導評估,為了解某學校師生對學校教學管理的滿意度,分別從教師和不同年級的同學中隨機抽取若干師生,進行評分(滿分100分),繪制如下頻率分布直方圖(分組區(qū)間為, , , , , ),并將分數(shù)從低到高分為四個等級:
滿意度評分 | ||||
滿意度等級 | 不滿意 | 基本滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
已知滿意度等級為基本滿意的有340人.
(1)求表中的值及不滿意的人數(shù);
(2)在等級為不滿意的師生中,老師占,現(xiàn)從該等級師生中按分層抽樣抽取12人了解不滿意的原因,并從中抽取3人擔任整改督導員,記為老師整改督導員的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大型電器企業(yè),為了解組裝車間職工的生活情況,從中隨機抽取了名職工進行測試,得到頻數(shù)分布表如下:
日組裝個數(shù) | ||||||
人數(shù) | 6 | 12 | 34 | 30 | 10 | 8 |
(1)現(xiàn)從參與測試的日組裝個數(shù)少于的職工中任意選取人,求至少有人日組裝個數(shù)少于的概率;
(2)由頻數(shù)分布表可以認為,此次測試得到的日組裝個數(shù)服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).
(
(ii)為鼓勵職工提高技能,企業(yè)決定對日組裝個數(shù)超過的職工日工資增加元,若在組裝車間所有職工中任意選取人,求這三人增加的日工資總額的期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次動物保護知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參'與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如表所示:
組別 | ||||||
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 |
若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“動物保護關(guān)注者”,則山圖中表格可得列聯(lián)表如下:
非“動物保護關(guān)注者” | 是“動物保護關(guān)注者” | 合計 | |
男 | 10 | 45 | 55 |
女 | 15 | 30 | 45 |
合計 | 25 | 75 | 100 |
(1)請判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“動物保護關(guān)注者”與性別有關(guān)?
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“動物保護達人”.現(xiàn)在從本次調(diào)查的“動物保護達人”中利用分層抽樣的方法隨機抽取6名市民參與環(huán)保知識問答,再從這6名市民中抽取2人參與座談會,求抽取的2名市民中,既有男“動物保護達人”又有女“動物保護達人”的概率.
附表及公式:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線:(,為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線:.
(1)說明是哪一種曲線,并將的方程化為極坐標方程;
(2)若直線的方程為,設(shè)與的交點為,,與的交點為,,若的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小趙和小王約定在早上7:00至7:15之間到某公交站搭乘公交車去上學,已知在這段時間內(nèi),共有2班公交車到達該站,到站的時間分別為7:05,7:15,如果他們約定見車就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有6本不同的書,在下列不同的條件下,各有多少種不同的分法?
(1)分給甲乙丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本;
(2)分成三組,一組4本,另外兩組各1本;
(3)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
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