Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長；
（2）求此幾何體的表面積，并畫出此幾何體的主視圖和俯視圖（寫出各頂點字母）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)長方體的高AA₁=h，根據(jù)長方體體積公式和錐體體積公式列方程，解之即可得到AA₁=3．
（2）根據(jù)題意，可得該幾何體的表面由三個長方形和四個三角形組成，分別求出各長方形和三角形的面積，相加即得此幾何體的表面積，再根據(jù)三視圖的定義可作出它的主視圖和俯視圖．

解答：解：（1）設(shè)長方體的高AA₁=h，則該幾何體體積為
VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10--------------------2'
即2×2•h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

10

3

h=10，解得：h=3，即AA₁=3-----------------------6’
（2）根據(jù)題意，可得該幾何體的表面由三個長方形和四個三角形組成，
S_AA1D1D=S_C1D1DC=2×3=6，S_ABCD=2×2=4，
S_△A1AB=S_△BC1C=

1

2

×2×3=3，S_△A1D1C1=

1

2

×2×2=2，
在△A₁BC₁中，A₁B=

22+32

=

13

=BC₁，A₁C₁=

22+22

=2

2

∴cos∠A₁BC₁=

13+13-8

2× 13 × 13

=

9

13

，
可得sin∠A₁BC₁=

1-( 9 13 )2

=

2 22

13

所以S_△A1BC1=

1

2

×

13

×

13

×

2 22

13

=

22

由此可得該幾何體的表面積為：
S_表=S_AA1D1D+S_C1D1DC+S_ABCD+S_△A1AB+S_△BC1C+S_△A1D1C1+S_△A1BC1=24+

22

---------------------------10'
幾何體的主視圖和俯視圖如右圖所示（主視圖和俯視圖分別為2分）．---------------------------14'

點評：本題將長方體切去一個角，在已知體積的情況下求它的高，并求幾何體的表面積，著重考查了棱柱棱錐的體積公式，用正余弦定理求三角形面積等知識，屬于基礎(chǔ)題．