Question

如圖，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）A（2，0），
設(shè)所求橢圓的方程為：，…（2分）
由橢圓的對(duì)稱性知，
|OC|=|OB|，
由．
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C是坐標(biāo)為（1，1）．…（4分）
∵C點(diǎn)在橢圓上，
∴，
∴．
所求的橢圓方程為．…（8分）
（2）AB與DE是平行關(guān)系…（10分）
D（-1，1），
設(shè)所求切線方程為y-1=k（x+1），
…（12分）
上述方程中判別式
又，
所以AB與DE平行…（14分）
分析：（1）設(shè)所求橢圓的方程為：，由橢圓的對(duì)稱性知，|OC|=|OB|，由．|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，知△AOC是等腰直角三角形，由此能夠求出橢圓方程．
（2）設(shè)所求切線方程為y-1=k（x+1），由，由判別式等于0，能判斷AB與DE平行．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．易錯(cuò)點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．