Question

設(shè)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當(dāng)x₂=a時(shí)，求證：|g(x)|≤

1

12

a(3a+2)2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因?yàn)閤₁、x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，而x₁=-1，x₂=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函數(shù)解析式；
（Ⅱ）因?yàn)閤₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)已知進(jìn)行變形得到a和b的等式，求出b的范圍，設(shè)p（a）=3a²（6-a），求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到p（a）的極大值，開方可得b的最大值；
（Ⅲ）因?yàn)閤₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根，所以f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．根據(jù)兩個(gè)之積和x₂=a求出x₁，將x₁和導(dǎo)函數(shù)代入到g（x）=f'（x）-a（x-x₁）求出g（x）的絕對(duì)值，根據(jù)x的范圍化簡絕對(duì)值，再利用二次函數(shù)最值的方法得證即可．

解答：解 （Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（Ⅱ）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，且|x1|+|x2|=2

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
設(shè)p（a）=3a²（6-a），則p'（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函數(shù)p（a）在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，在區(qū)間[4，6]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=4時(shí)，p（a）有極大值為96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值為4

6

．
（Ⅲ）證明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根，
∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，
∴x1=-

1

3

．
∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a．
∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

．
∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握不等式的基本證明方法．