Question

已知橢圓C1：

x2

a 2 1

+y2=1(a1＞1)與C2：y2+

x2

a 2 2

=1(0＜a2＜1)的離心率相等．直線l：y=m（0＜m＜1）與曲線C₁交于A，D兩點（A在D的左側(cè)），與曲線C₂交于B，C兩點（B在C的左側(cè)），O為坐標原點，N（0，-1）．
（Ⅰ）當m=

3

2

，|AC|=

5

4

時，求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若2

ND

•

AD

=|

ND

|•|

AD

|，且△AND和△BOC相似，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出a₁a₂=1，

1

2

a1+

1

2

a2=

5

4

，由此求出a₁，a₂，由此能求出C₁，C₂的方程．
（Ⅱ）將y=m代入曲線C₁，將y=m代入曲線C₂，能推導出∠ADN=

π

3

，根據(jù)橢圓的對稱性得到ND=NA，OB=OC，由此能求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵C₁，C₂的離心率相等，
∴

a12-1

a1

=

1-a22

，∴a₁a₂=1，…（2分）
∵m=

3

2

，將y=

3

2

分別代入曲線C₁，C₂方程，
由

x2

a12

+

3

4

=1⇒xA=-

1

2

a1，
由

3

4

+

x2

a22

=1⇒xC=

1

2

a2．
∴當m=

3

2

時，A(-

a1

2

，

3

2

)，C(

a2

2

，

3

2

)．
又∵|AC|=

5

4

，∴

1

2

a1+

1

2

a2=

5

4

．
由

1 2 a1+ 1 2 a2= 5 4 a1a2=1

，解得

a1=2 a2= 1 2

．
∴C₁，C₂的方程分別為

x2

4

+y2=1，4x²+y²=1． …（5分）
（Ⅱ）將y=m代入曲線C₁：

x2

a12

+y2=1，得xA=-a1

1-m2

，xD=a1

1-m2

，
將y=m代入曲線C₂：y2+

x2

a22

=1，得xB=-a2

1-m2

，xC=a2

1-m2

由于a₁a₂=1，
∴A(-a1

1-m2

，m)，D(a1

1-m2

，m)，
B(-

1

a1

1-m2

，m)，C(

1

a1

1-m2

，m)．
∵2

ND

•

AD

=|

ND

|•|

AD

|，
∴cos∠ADN=cos＜

ND

，

AD

＞=

ND • AD

| ND |•| AD |

=

1

2

，
∴∠ADN=

π

3

…（8分）
根據(jù)橢圓的對稱性知：ND=NA，OB=OC，
又△AND和△BOC相似，
∴∠ADN=∠BCO=

π

3

，
∴tan∠ADN=tan∠BCO=

3

，
∴

m+1

a1 1-m2

=

m

1 a1 1-m2

=

3

，
由

m+1

a1 1-m2

=

m

1 a1 1-m2

，化簡得：a12=

m+1

m

，
代入

(m+1)2

a12(1-m2)

=3，得m=

3

4

．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓與直線的位置關(guān)系中參數(shù)的求法，解題時要合理運用直線與橢圓的位置關(guān)系，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．